年轻时的佩雷尔曼

“庞加莱猜想”是由一位名叫庞加莱的数学家提出来的，此人是当时最伟大的两个数学家之一，在其他领域也颇有建树。1 9 0 4年，他在原有猜想的基础上提出了“广义庞加莱猜想”，表述如下：

每个闭n 维流形，如果与n 维球面Sn 具有相同的同伦形，则同胚于Sn。如果n=3，则是最初的“庞加莱猜想”。

现在，很多人都致力破解各类数学、物理的难题，但是，前提条件是要先读懂它。我尝试在我的能力范围内为读者解读一下，并且试着阐述它的重大意义。这事得从非欧几何说起。

我们从初中就开始接触几何学了，也就是平面的几何图形，到高中会学到立体几何，这种几何被称为“欧几里得几何”，或者干脆简称“欧氏几何”。虽然我无意打击人，但我们中学所学的真的是从古希腊那个遥远的年代就建立起来的几何学，其奠基著作是由欧几里得完成的《几何原本》，已经有2 0 0 0多年的历史了。在欧氏几何里，三角形的内角之和是1 8 0°，但前提条件是平面没有弯曲。如果我们将三角形画在一个凸面上，或者一个凹面上，这些内角之和还是1 8 0°吗？答案是否定的，因此而孕育出的，便是非欧几何学。

非欧几何学的三角形实际上是属于一个曲面的，或者说属于一个二维流形。所谓“流形”，是在曲线（一维流形）和曲面基础上的高维度扩展，比如一个三维的球就是三维流形。由于我们生活在三维的空间中，接下来就不能光凭直观想象了，借助公式，我们可以把流形的维度进一步推高。

我们回过头来再看三维的“庞加莱猜想”，它可以简单表述为：

一个单连通的三维闭流形一定同胚于三维球面。

我们继续燃烧脑细胞来弄清这个相当难理解的简单表述：

所谓“闭流形”的意思就是一个封闭的三维球面，比如我们的地球，你可以在地球上不停地走，永远也不会走到尽头，但是你可以回到出发点。所以，地球表面可以看成一个三维闭球面。现在，我拽住地球的南北两极，使劲拉伸它，于是地球成了一个冬瓜形（可怜的地球妈妈），这时候它仍然是一个封闭的流形，因为你仍然休想走到这个冬瓜形星球的尽头。

现在，这个“冬瓜球面”还是“单连通”的，或者说，如果我用一个绳子勒住它，然后使劲儿勒，最后，我的绳结可以勒出一个葫芦形的结构，直至把中间的葫芦颈勒成一个点。这和自行车内胎不一样，如果你从中间勒自行车的内胎的话，你最后得到的是两个点。事实上，无论你从任何一个角度去勒自行车胎，都无法得到一个点，所以，自行车胎就不是单连通的。而我们的地球母亲，好吧，虽然残忍点，你从任何地方下手，都可以勒出一个点。或者说，这些单连通闭流形上任何一个闭合的“圆圈儿”，都可以被压缩成一个点。或者说，如果所有的“圆圈儿”都被同时压缩，整个三维流形就会被压缩回一个点。那这是不是所有三维闭合流形的共性（同胚的）？或者反过来说，是不是这些流形都是由一个点“膨胀”而来的？

你想到了什么？没错！宇宙大爆炸！如果三维的“庞加莱猜想” 能够被证明，它将为宇宙大爆炸理论的正确性提供一个有力的数学支点！同样，这一猜想本身和其证明过程的数学思维不仅能推动数学的发展，也能被反向应用于黑洞、场论、弦论等天文和物理的重大问题。

┋不可能完成的任务？

事实上，三维“庞加莱猜想”在整个体系中是比较难证明的。1 9 6 0年，斯梅尔以及后来的数学家证明了五维和五维以上的“庞加莱猜想”的正确性；1 9 8 2年， 美国数学家弗里德曼和英国数学家唐纳森证明了四维“庞加莱猜想”；只剩下三维“庞加莱猜想”没有完成。

汉密尔顿提出的“瑞奇流”模型

这期间， 为了证明三维“庞加莱猜想”，不少数学家冲过去，然后倒下再也没有站起来……在此期间，美国的数学家汉密尔顿提出“瑞奇流”，为解决“庞加莱猜想”提供了新的工具。但汉密尔顿未能走得更远，他的方法产生了奇点——密度无穷大的点。如何处理奇点，成为解决“庞加莱猜想”最关键的部分。在美国访问期间，佩雷尔曼意识到奇点问题可能的解决办法。他曾去听过汉密尔顿的讲座，并且当面请教，但汉密尔顿似乎没有听得太明白，他就只能沿着这条路孤独地走下去了。

佩雷尔曼回到俄罗斯后，就在数学界消失了，直到2 0 0 2年，数学界的部分人收到了佩雷尔曼的电子邮件，说他已经将证明论文贴到了网上，请他们帮忙验证其合理性。原来这家伙还活着，而且这么多年一直在埋头研究数学。

行云流水般的3篇论文上网后，2 0 0 3年，佩雷尔曼启程前往美国，开始了他的讲解之旅。这个历程很可能刺激了他，因为虽然他拒绝接受任何媒体的采访，而且也从未正式宣称证明了“庞加莱猜想”，《纽约时报》的记者还是捕捉到了这一信息，说他声称证明了这个猜想，并且提到他可能因此获得1 0 0万美元的奖金，似乎佩雷尔曼是冲着不知道什么时候设置的大奖来的一样。同时，“瑞奇流”之父汉密尔顿不积极的态度可能也给这个内向的学霸带来了心理阴影。可是，说实话，人家上次和学霸当面讨论的时候都没有听懂，现在你让人家短时间内搞明白你鼓捣了好多年才弄出来的东西，学霸你的要求怎么能这么高啊？显然，美国之旅给佩雷尔曼的感觉不是太好，2 0 0 4年回到俄罗斯后，曾向他的一位老师抱怨，说对数学界很失望。之后，他表示不打算当数学家了，辞职了，而且断绝了和同行的一切来往——反正论文和证明已经摆在那儿了，你们这帮家伙看着办吧。

正如国内学者胡作玄老先生所言，佩雷尔曼的证明靠不靠谱，可以从两个侧面判断：一是此人是不是一个认真的数学家，二是此人是否曾显示过创新的实力。佩雷尔曼显然都符合。因此，老先生在2 0 0 4年就撰文明确表态，看好佩雷尔曼。显然，很多数学同行也是这么想的，特别是了解佩雷尔曼古怪脾气的朋友都知道，这家伙从来没有和他的朋友们讨论过数学以外的东西。于是，大家就更觉得这家伙靠谱了。

就在佩雷尔曼在数学的后院里放了一把最大的火，然后玩了消失以后，数学家开始逐行解读他的论文。3个核心团队分头对其进行独立核实，花了3年时间，硬是把佩雷尔曼最初的3篇论文变成了数百页的标注解析版。2 0 0 6年，大家表示：终于可以看懂了。

2 0 0 6年，国际数学家联盟决定将数学界的诺贝尔奖“菲尔兹奖”颁给佩雷尔曼。但是现在，媒体和数学界面临一个似乎比证明“庞加莱猜想”还不可能完成的任务——请佩雷尔曼出山。世界数学家联盟主席约翰·博尔爵士亲自到圣彼得堡劝说佩雷尔曼领奖，佩雷尔曼彬彬有礼地接待了他。这个看起来极度邋遢而且不修边幅的数学家给博尔爵士的印象很好，私下里也很友好，但他还是拒绝了这个奖项。在他看来，奖不奖的没什么大不了，一同被拒绝的还有该奖7 0 0 0美元的奖励。佩雷尔曼宁可吃粗陋的食物，或者去树林里采蘑菇，也不愿意接受什么奖金，甚至连一张照片都没让博尔爵士带回去。但是，博尔爵士表示，佩雷尔曼虽然有权拒绝领奖，但我们也有权给你发奖。于是，就出现了这样一个诡异的场面：西班牙国王面对着一张不知道什么时候从哪里拍摄的模糊的照片发奖，照片里，半秃顶的大胡子邋遢汉直愣愣地看着镜头。

对媒体来讲，那就更惨了，佩雷尔曼的智商足以判断出任何乔装打扮的记者，能轻易摆脱他们的追踪。媒体没能从他那里撬出一点有用的信息，最后，还是《纽约客》杂志成功约到了一次采访的机会，但是整个采访的内容大概可以这样表述：佩雷尔曼表示，我没什么可采访的，我的那些事公众不会感兴趣，我什么也不需要，以后不要来烦我了。

至于那家曾经为证明“庞加莱猜想”悬赏1 0 0万美元的美国克雷数学研究所，由于要求证明该猜想的论文必须发表在学术刊物上，可佩雷尔曼任性地把论文发在了网上，所以他们只能等着他回心转意，把文章正式发表在学术杂志上。就这样，他们一直扛到2 0 1 0年，终于扛不住了：去他妈的学术刊物吧！于是，他们跋山涉水，不远万里，辗转追索，终于把领奖通知贴到了佩雷尔曼的家门口。佩雷尔曼看到了，然后，他搬家了……这一年，佩雷尔曼4 4岁。

有人统计过，如果按佩雷尔曼所拒绝的奖金的总购买力计算，以他现在的生活水平，可以让他和母亲无忧无虑地生活几千年。他唯一接受过的国际性奖励就是学生时代数学奥林匹克竞赛的金奖。但是这又怎么样呢？佩雷尔曼是一位继承了俄罗斯数学学派光荣传统的纯粹的数学家，他只是因为热爱数学而研究数学，名利什么的，真的和他的需求没关系啊！

佩雷尔曼及其母亲